R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE) σˆ 2 ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION σ ˆ

Transcripción

1 Leyedo la salida de u programa estadístico Cada programa estadístico preseta los resultados de la regresió e forma diferete, pero la mayoría provee la misma iformació básica. La tabla muestra la salida del Statistix para la regresió de la presió de trasició sobre la temperatura. Tabla UNWEIGHTED LEAST SQUARES LINEAR REGRESSION OF PRESION PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P CONSTANT (a) TEMP (b) s(b) R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE) σˆ ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION σ ˆ SOURCE DF SS MS F P REGRESSION RESIDUAL σˆ TOTAL CASES INCLUDED 0 MISSING CASES 0 La columa ecabezada COEFFICIENT preseta la ordeada al orige (CONSTANT = a = ) y la pediete ( b = ). La columa ecabezada STD ERROR preseta los correspodietes errores estádar. El cociete etre el valor del coeficiete y su error estádar aparece e la columa STUDENT'S T. Sus p-valores, presetados e la columa ecabezada P, permite testear si los coeficietes so sigificativamete distitos de cero. E este caso ambos p-valores ( y ) so meores que 0.0 y decimos que los coeficietes a y b so altamete sigificativos. El coeficiete de la variable TEMP, es estadísticamete sigificativo distito de cero, etoces decimos que la variable temperatura explica la respuesta, presió de trasició Otros estadísticos icluidos e la tabla so: R-SQUARED: Coeficiete de determiació R = =

2 07 RESID. MEAN SQUARE ERROR (MSE), σˆ : Cociete etre la suma de cuadrados de los residuos y sus grados de libertad, RSS / DF = / 8 = STANDARD DEVIATION es la raíz cuadrada del MSE. Es u estimador del desvío σ. E uestro ejemplo σ = ˆ = La salida icluye tambié ua tabla, deomiada tabla de aálisis de la variaza correspodiete al ajuste, la cuál cotiee las sumas de cuadrados, bajo el ecabezado SS, los grados de libertad de cada suma de cuadrados ( DF ), el cociete etre la suma de cuadrados y sus correspodietes grados de libertad ( MS ) y fialmete el estadístico F y su p-valor asociado. TOTAL SS Es la suma de cuadrados total, TSS = (g.l. = 9) RESIDUAL SS Es la suma de cuadrados residual, RSS = (g.l. = 8) REGRESSION SS Es la suma de cuadrados explicada por el modelo, TSS - RSS = REGRESSION MS (TSS - RSS) / =37087 / = RESIDUAL MS: RSS / 8 = / 8 = σˆ ESTADISTICO F Es ua medida global de la bodad de la regresió y se calcula como el cociete de los dos últimos valores defiidos, es decir ( TSS RSS) / F = = = RSS/ El correspodiete valor-p = y por lo tato decimos que la regresió es altamete sigificativa. Observació : E la regresió lieal simple úicamete, el p-valor del estadístico F coicide co el del test para decidir si la pediete es estadísticamete distita de cero. Esto o ocurre cuado se icluye más variables explicativas al modelo. 6 Itervalo de cofiaza para la pediete Podemos calcular u itervalo de cofiaza para la pediete de la recta ajustada y tambié realizar u test para decidir si es sigificativamete distita de cero. Ua pediete cero querría decir que o hay relació lieal etre Y y X. Recordemos que la pediete de la recta ajustada es:

3 08 ( xi x)( yi y) ( xi x) yi b = = ( xi x) ( xi x) Luego Var (b) = σ (cosiderado que las x s so fijas y si error) y el desvío estádar estimado de la pediete es: σˆ s( b) = (9) dode σˆ es u estimador de σ, calculado como suma de los cuadrados de los residuos dividida por -. Rara vez será ecesario utilizar (9) para el cálculo ya que s(b) es u valor que muestra el Statistix automáticamete al realizar u ajuste por cuadrados míimos. E este caso, s(b) = ( Vea la tabla, STD ERROR ). Si embargo es iteresate deteerse e su expresió ; vemos que: iterviee todas las observacioes, a medida que aumeta el úmero de observacioes ( ), s(b) se hace cada vez más pequeño, para u mismo úmero de observacioes, cuato más dispersos esté los valores x i tato más pequeño será s(b). Los extremos de u itervalo de cofiaza de ivel (-α) 00% para la pediete so: b ± t -, α/ * s(b), (0) Coclusió: si queremos que la estimació de la pediete de la recta sea lo más precisa posible, debemos elegir u tamaño de la muestra grade y los valores de la variable explicativa lo más espaciados que se pueda detro del rago de iterés. Tomado α = 0.05, e uestro ejemplo - = 8, b = , s(b) = y t 8, 0.05 =.0, resulta el itervalo del 95% de cofiaza ( , )de las pedietes compatibles co los datos. Como el cero o perteece al itervalo de cofiaza obteido, se rechaza la hipótesis de pediete ula al ivel 0.05.

4 09 7. Itervalos de cofiaza e itervalos de predicció. Hemos dicho (secció 5.3) que la recta ajustada puede utilizarse de dos maeras distitas a) para estimar de la media poblacioal de Y para cada x fijo. b) para predecir u valor futuro de Y para u valor fijo de x. Agregaremos alguas más c) para estimar de la media poblacioal de Y para varios valores de x diferetes. d) para predecir varios valores futuros de Y para cada uo co u valor fijo de x diferete. e) realizar prediccioes del valor de X que dio lugar al uevo valor observado de Y. Esto se llama predicció iversa. Los itervalos que resulta de a) - d) está todos cetrados e úicamete e su amplitud debido a la diferecia e las variazas. ŷ, difiere 7. Itervalos de cofiaza para la respuesta media Figura 7 Debe teerse e cueta la icerteza de la recta ajustada. Para ello se costruye ua bada alrededor de la recta de regresió ajustada, tal que para cada valor fijo de x (x ueva ), el itervalo determiado por la bada y ua recta vertical a la abscisa e x ueva, sea u itervalo de cofiaza del (-α) 00%: ueva a + b x ± t -, α/ σˆ ueva (x x) +

5 0 ueva ueva (x x) Si llamamos s(a + b x ) a σ ˆ + teemos que los límites de u itervalo de cofiaza para la media de la variable Y dado el valor x ueva so ueva ueva a + b x ± t -, α / s(a + b x ) () E particular si α = 0.05, el 95% de cofiaza sigifica que el itervalo es uo de ua familia de itervalos, tal que 95 de cada 00 cotiee la verdadera media de Y para ese valor fijo de x (x ueva ) ; 5 o. Podemos cofiar e que el que teemos es uo de esos Itervalos de predicció para ua observació futura Para u mismo valor (x) de la variable explicativa, u itervalo de predicció refleja, además de la variabilidad debida a que la recta estimada o represeta exactamete la media verdadera de la variable respuesta para ese valor de X, la variabilidad idividual de la variable respuesta alrededor de la media verdadera y es por esa razó es de mayor amplitud que el itervalo de cofiaza. Figura 8. Itervalos de cofiaza juto co los itervalos de predicció para ua observació futura La expresió geeral de los límites de predicció del (-α) 00 % para ua observació futura (y ueva ) para el valor x ueva de la variable explicativa es:

6 ueva a + b x ueva a + b x ± t -, α/ σ ˆ ± t -, α/ ueva ( x x) + + s (pred Y), () La úica diferecia etre el itervalo de cofiaza () y el de predicció () es que aparece u detro de la raíz. Esta diferecia hace que la logitud de los itervalos de cofiaza pueda hacerse ta pequeña como se quiera, co tal de tomar suficietes observacioes, mietras que la logitud de los itervalos de predicció uca pueda ser meor que t -, α/ σ ˆ Si la catidad de observacioes es grade la raíz que aparece e la expresió () es aproximadamete igual a y la logitud del itervalo de predicció de ivel 0.95, resulta cerca de 4s. Por lo tato, si estamos iteresados e predicció, 4σ ˆ es u excelete idicio de la calidad del ajuste, y como cosecuecia, de la icerteza de las prediccioes. Ejemplo: Iteresa estudiar la relació etre la pureza del oxigeo (Y) producido e u proceso de destilació y el porcetaje de hidrocarburos (X) presetes e el codesador pricipal de la uidad de destilació. No se cooce u modelo determiístico fucioal que relacioe la pureza del oxígeo co los iveles de hidrocarburo. Tabla 3. Niveles de oxigeo e hidrocarburos x(%) y(%) x(%) y(%) x(%) y(%) x(%) y(%) El diagrama de dispersió de la figura 9 muestra que a pesar de que igua curva simple pasará por todos los putos hay ua tedecia lieal creciete de maera que es razoable supoer que la media de la pureza de oxígeo esté relacioada liealmete co el ivel de hidrocarburos.

7 Figura 9 La tabla 4 los coeficietes y sus errores estadar, resultates de u ajuste de cuadrados míimos a los datos de la pureza de oxígeo. La variable X (% de hidrocarburos) es estadísticamete sigificativa. Tabla 4 PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P CONSTANT X R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE).8055 ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION Figura 0

8 3 Los gráficos de la figura 0 os permite cocluir que los datos o preseta alejamietos de los supuestos de Normalidad y homoscedasticidad. Figura. Recta ajustada juto co las badas de cofiaza y de predicció del 95% La bada itera de la figura es la bada de cofiaza (). El itervalo más agosto, (9.650, 9.67), se ecuetra e el ivel promedio de hidrocarburos ( x =.96 %). Los itervalos se va esachado a medida que aumeta la distacia a dicho valor promedio. U alto porcetaje de valores observados cae fuera de la bada de cofiaza. Esto poe de maifiesto que dichas badas está formadas por itervalos de cofiaza para la respuesta media, ada dice respecto de los valores de la variable de iterés. La logitud de estos itervalos decrece co el aumeto del tamaño de la muestra y/o de la dispersió de los valores de la variable idepediete. Siguiedo co el ejemplo, e el ivel promedio de hidrocarburos (.96 %), el itervalo de predicció es (89.8 ; ). Los itervalos de predicció () del 95% tambié se esacha co la distacia al ivel promedio de hidrocarburos, auque esto o se ve fácilmete de la figura.